Leibniz: biografia, filosofía, formula, calculo, frases, y mucho más

Gottfried Wilhelm Leibniz fue un polímata y filósofo alemán que ocupa un lugar prominente en la historia de las matemáticas y la historia de la filosofía, habiendo desarrollado cálculo diferencial e integral independientemente de Isaac Newton. La notación de Leibniz ha sido ampliamente utilizada desde su publicación.

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En filosofía, Leibniz es muy conocido por su optimismo, es decir, su conclusión de que nuestro Universo es, en un sentido restringido, el mejor que Dios pudo haber creado, una idea que a menudo fue ridiculizada por otros como Voltaire. Leibniz, junto con René Descartes y Baruch Spinoza, fue uno de los tres grandes defensores del racionalismo del siglo XVII.

Biografía y vida

Leibniz nació en una pía familia luterana cerca del final de la Guerra de los Treinta Años, que había puesto a Alemania en ruinas. Cuando era niño, fue educado en la Escuela Nicolai, pero fue en gran parte autodidacta en la biblioteca de su padre, que había fallecido en 1652. En la época de Pascua de 1661, ingresó en la Universidad de Leipzig como estudiante de derecho; allí entró en contacto con la idea de hombres que revolucionaron la ciencia y la filosofía: hombres como Galileo, Francis Bacon, Thomas Hobbes y René Descartes.

Leibniz soñaba con la reconciliación, un verbo que no dudó en utilizar una y otra vez a lo largo de su carrera, estos pensadores modernos con el Aristóteles de la Escolásticos. Su tesis de bachillerato, De Principio «Sobre el Principio del Individuo», que apareció en mayo de 1663, fue inspirado en parte por los luteranos nominalismo (la teoría de que los universales no tienen realidad, sino que son meros nombres) y enfatizó el valor existencial del individuo, que no debe ser explicado ni por la materia sola ni por la forma sino por todo su ser.

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Esta noción fue el primer germen de la futura «mónada». En 1666 escribió De Arte Combinatoria en el que formuló un modelo que es el antepasado teórico de algunas computadoras modernas: todo razonamiento, todo descubrimiento, verbal o no, es reducible a una combinación ordenada de elementos, como números, palabras, sonidos o colores.

Después de completar sus estudios legales en 1666, Leibniz solicitó el título de doctor en derecho. Fue rechazado debido a su edad y, en consecuencia, abandonó su ciudad natal para siempre. En Altdorf, la ciudad universitaria de la ciudad libre de Nuremberg, su disertación De Casibus Per plexis, le aseguró el título de doctor de inmediato, así como la oferta inmediata de una cátedra de profesor, que, sin embargo, fue rechazado. (ver artículo: Julio César)

Durante su estancia en Nuremberg, conocióJohann Christian, Freiherr von Boyneburg, uno de los estadistas alemanes más distinguidos de la época. Boyneburg lo tomó en su servicio y lo presentó a la corte del príncipe elector, el arzobispo de Mainz, Johann Philipp von Schönborn, donde le preocupaban las cuestiones de derecho y política.

Rey Luis XIV de Francia era una amenaza creciente para el Sacro Imperio Romano Alemán. Para evitar este peligro y desviar los intereses del Rey a otro lado, el Arzobispo esperaba proponer a Louis un proyecto para una expedición a Egipto; porque estaba usando la religión como pretexto, expresó la esperanza de que el proyecto promovería la reunión de la iglesia.

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Leibniz, con miras a esta reunión, trabajó en las Demostraciones Catholicae. Su investigación lo llevó a situar el alma en un punto este era un nuevo progreso hacia la mónada y a desarrollar el alma. Sus meditaciones sobre la difícil teoría del punto estaban relacionadas con problemas encontrados en óptica, espacio y movimiento; fueron publicados en 1671 bajo el título general Hipótesis Physica Nova.

Afirmó que el movimiento depende, como en la teoría del astrónomo alemán Johannes Kepler, de la acción de un espíritu. En 1672, el elector envió al joven jurista a una misión a París, donde llegó a fines de marzo. En septiembre, Leibniz se reunió con Antoine Arnauld, un teólogo jansenista conocido por sus escritos contra los jesuitas.

Leibniz buscó la ayuda de Arnauld para la reunión de la iglesia. Pronto se quedó sin protectores por la muerte del Freiherr von Boyneburg en diciembre de 1672 y del Elector de Mainz en febrero de 1673; ahora, sin embargo, era libre de continuar sus estudios científicos. En busca de apoyo financiero, construyó una máquina de calcular y la presentó a la Royal Society durante su primer viaje a Londres, en 1673.

A fines de 1675, Leibniz sentó las bases tanto de lo integral como de lo diferencial en cálculo. Con este descubrimiento, dejó de considerar el tiempo y el espacio como sustancias, un paso más hacia la monadología. Comenzó a desarrollar la noción de que los conceptos dela extensión y el movimiento contenían un elemento de lo imaginario, de modo que las leyes básicas del movimiento no podían ser descubiertas meramente a partir de un estudio de su naturaleza.

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Sin embargo, continuó sosteniendo que la extensión y el movimiento podrían proporcionar un medio para explicar y predecir el curso de los fenómenos. Por lo tanto, al contrario de Descartes, Leibniz sostuvo que no sería contradictorio plantear que este mundo es un sueño bien relacionado.

Si el movimiento visible depende del elemento imaginario que se encuentra en el concepto de extensión, ya no puede definirse por simple movimiento local; debe ser el resultado de una fuerza. Al criticar la Formulación cartesiana de las leyes del movimiento, conocida como Mecánica, Leibniz se convirtió, en 1676, en el fundador de una nueva formulación, conocida como dinámica, que sustituyó la energía cinética para la conservación del movimiento.

Al mismo tiempo, comenzando con el principio de que la luz sigue el camino de menor resistencia, él creía que podía demostrar el orden de la naturaleza hacia un objetivo o causa final. Leibniz continuó su trabajo pero aún no tenía un puesto que produjera ingresos. En octubre de 1676, sin embargo, había aceptado un puesto en el empleo de John Frederick, el duque deBraunschweig-Lüneburg.

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John Frederick, un converso al catolicismo del luteranismo en 1651, se había convertido en duque de Hannover en 1665. Nombró a Leibniz bibliotecario, pero, a partir de febrero de 1677, Leibniz solicitó el puesto de concejal, que finalmente le fue otorgado en 1678.

Leibniz falleció en Hanover en 1716, en ese tiempo, vivía tan fuera de lugar que ni George I, que estaba cerca de Hanover en ese instante, ni algún otro cortesano aparte de su secretario personal asistieron al funeral. A pesar de que Leibniz fue órgano fijo de la Royal Society y de la Academia de Ciencias de Berlín, ninguna de las dos ordenaciones creyó oportuno enaltecer su fallecimiento.

Su tumba no fue marcada por más de 50 años. Leibniz fue elogiado por Fontenelle, ante la Academia Francesa de Ciencias en París, que lo había admitido como miembro extranjero en 1700. El elogio fue combinado por orden de la Duquesa de Orleans, sobrina de la Electress Sophia. (ver artículo: Osama Bin Laden)

Filosofía

La ideología filosófica de Leibniz se siente fraccionada, porque sus cifrados filosóficos radican primariamente en una afluencia de piezas cortas, artículos de revistas, manuscritos publicados mucho detrás de su muerte y muchas cartas a muchos comisionados. Redacto solo dos tratados filosóficos de un libro, de los cuales solo el Théodicée de 1710 se divulgó en vida.

Leibniz data de su comienzo como filósofo de su Discurso sobre metafísica, que compuso en 1686 como comentario sobre una disputa entre Nicolas Malebranche y Antoine Arnauld. Esto condujo a una extensa y valiosa correspondencia con Arnauld; y el Discurso no se publicaron hasta el siglo XIX.

En 1695, Leibniz concibió su ingreso público a la filosofía europea con un artículo llamado «Nuevo sistema de la naturaleza y la comunicación de sustancias». Entre 1695 y 1705, acomodó su New Essays on Human Understanding, una amplia opinión sobre John Locke.

Un ensayo sobre el entendimiento humano, pero al enterarse de la muerte de Locke en 1704, perdió el deseo de publicarlo, por lo que los nuevos ensayos no se publicaron hasta 1765. La monadología, compuesta en 1714 y publicada póstumamente, consta de 90 aforismos.

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Filosofía de Spinoza

Leibniz conoció a Spinoza en 1676, estudió ciertos de sus escritos inéditos, y desde entonces se sospecha que se arregló de algunas de las ideas de Spinoza. Mientras que Leibniz extasiaba el poderoso intelecto de Spinoza, también se sentía claramente afligido por las conclusiones de Spinoza, especialmente cuando éstas eran inconsistentes con la ortodoxia cristiana.  (ver artículo: Jesucristo)

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Al contrario de Descartes y Spinoza, Leibniz tenía una instrucción universitaria consuma en filosofía. Fue mediado por su catedrático de Leipzig, Jakob Thomasius, quien también inspeccionó su tesis de licenciatura en filosofía. Leibniz asimismo leyó ávidamente a Francisco Suárez, un español venerado inclusive en los institutos luteranos. Leibniz estaba profundamente interesado en los nuevos métodos y conclusiones de Descartes, Huygens, Newton y Boyle, pero veía su trabajo a través de una lente fuertemente matizada por nociones académicas. Sin embargo, sigue siendo el caso que los métodos e inquietudes de Leibniz a menudo anticipan la lógica, y analítica y Filosofía lingüística del siglo XX.

Formula de Leibniz

En álgebra, la fórmula de Leibniz, nombrada en honor a Gottfried Leibniz, expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Si A es un n × n matriz, donde una i, j es la entrada en el iª fila y j ésima columna de A, la fórmula es:

det(A)=∑σ∈Snsgn(σ)∏i=1naσ(i),i

Donde sgn es la función de signo de las permutaciones en el grupo de permutación S n, que devuelve +1 y -1 para las permutaciones pares e impares, respectivamente. Otra notación común utilizada para la fórmula es en términos del símbolo de Levi-Civita y hace uso de la notación de suma de Albert Einstein, donde se convierte en algo que puede ser más familiar para los físicos.

Evaluar concisamente la fórmula de Leibniz de la definición operaciones en general, es decir, un número de operaciones asintóticamente ajustadas a n factorial, ¡ porque n! es el número de orden- n permutaciones. Esto es imprácticamente difícil para n grande.

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En cambio, el determinante puede evaluarse en operaciones O (n3) formando la descomposición LU, A = LU (típicamente a través de la eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo A = (det L) (det U) y los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de sus entradas diagonales. (En aplicaciones prácticas de álgebra lineal numérica, sin embargo, rara vez se requiere un cálculo explícito del determinante).

El Calculo y Newton

Para esta época existo cierta polémica acerca del cálculo que fue un argumento entre los matemáticos del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, iniciado o provocado en parte por sus discípulos y asociados sobre quién había inventado primero el estudio matemático de cambio, cálculo.

Es una pregunta que ha sido la raíz de una significativa discusión intelectual, que empezó a hervir a fuego lento en 1699 y reventó con toda su fuerza en 1711. Newton afirmó haber iniciado a trabajar en una forma de cálculo, que designó el método de fluxiones y fluidos, en 1666, a la edad de 23 años, pero no la publicó solo como una anotación menor en la parte posterior de una de sus publicaciones décadas más tarde. (ver artículo: Francisco Franco)

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Gottfried Leibniz empezó a ocuparse en su variante de cálculo en 1674, y en 1684 divulgó su primer documento que lo emplea, «Nova Methodus pro Maximis et Minimis”. L’Hôpital publicó un texto sobre el cálculo de Leibniz en 1696. Mientras tanto, Newton, aunque expuso su forma geométrica de cálculo en la Sección I del Libro I de los Principia de 1687, no declaró su notación fluxional eventual para el cálculo en letra impresa hasta 1693, y 1704 en su totalidad.

La aserción de que Leibniz inventó el cálculo aparte de Newton se basa en que este:

  • Publicó una representación de su método algunos años antes de que Newton imprimiera algo sobre fluxiones.
  • Siempre insinuó al descubrimiento como su propia invención. Esta dogma no fue cuestionada durante algunos años.
  • Disfrutó de la fuerte presunción de que actuó de buena fe.
  • Demostró en sus documentos privados su desarrollo de las ideas del cálculo de una manera independiente del camino tomado por Newton.

Según los detractores de Leibniz, el hecho de que el reclamo de Leibniz no haya sido cuestionado durante algunos años es irrelevante. Para refutar este caso, es suficiente para demostrar que él:

  • Vio algunos de los documentos de Newton sobre el tema en 1675 o antes o al menos 1677.
  • Obtuvo las ideas primordiales del cálculo de esos documentos.

Calculo diferencial

En matemáticas, el cálculo diferencial es un sub-campo de cálculo relacionado con el estudio de las tasas a las que cambian las cantidades. Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, la otra es el cálculo integral, el estudio del área debajo de una curva. (Ver artículo: Pablo Picasso)

Los objetos principales de estudio en cálculo diferencial son la derivada de una función, nociones relacionadas como el diferencial y sus aplicaciones. La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada. El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación.

El adelanto moderno del cálculo universalmente se abona a Isaac Newton en 1643-1727 y Gottfried Leibniz en 1646-1716, que suministraron encauces independientes y agrupados para la diferenciación y los derivados. La meta, sin embargo, que les totalizó este crédito, fue el teorema esencial del cálculo que incumbe la diferenciación y la integración, está arcaica hizo obsoletos los procesos anteriores para calcular áreas y volúmenes, que no se habían desarrollado significativamente desde la época de Ibn al Haytham.

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Calculo integral

En matemáticas, una integral establece números a las funciones de una manera que puede puntualizar desplazamiento, área, volumen y otras nociones que surgen al ordenar datos infinitesimales. La integración es una de los dos procedimientos principales del cálculo, con su diferenciación reversa, que es la otra. Dada una función f de una variable real xy un intervalo [a , b] de la línea real , la integral definida.

El mayor avance en la integración llegó en el siglo XVII con el descubrimiento autónomo del teorema fundamental del cálculo por Newton y Leibniz. El teorema manifiesta una conexión entre integración y diferenciación. Esta conexión, acordada con la facilidad de diferenciación comparativa, puede utilizarse para calcular integrales.

En exclusiva, el teorema fundamental del cálculo admite resolver una clase de problemas mucho más amplia. Igual de significativo es el marco matemático integral que ampliaron Newton y Leibniz. Dado el nombre de cálculo infinitesimal, consintió un análisis preciso de las funciones entre los dominios continuos. Este marco últimamente se convirtió en cálculo moderno, cuya notación para integrales se desenvaina directamente del trabajo de Leibniz.

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Frases y pensamiento

A lo largo de su historia, podemos observar que además de sus aportes científicos, los pensamientos de Leibniz eran profundos e inspiradores, por eso, hoy en día los seguidores de sus aportes, recuerdan muchas de las frases y pasajes que dijo algunas ves en vida, a continuación tenemos las frases más famosas:

“Sobre las cosas que no se conocen siempre se tiene mejor opinión.”

“La experiencia del mundo no consiste en el número de cosas que se han visto, sino en el número de cosas sobre las que se ha reflexionado con fruto.”

“Amar es encontrar en la felicidad de otro tu propia felicidad.”

“Incluso en los juegos de niños hay cosas para interesar al matemático más grande.”

“El alma es el espejo de un universo indestructible.”

“Amar es inclinarse a obtener el placer de la perfección.”

“La muerte como el nacimiento, es sólo una transformación.”

“Lo presente, producto de lo pasado, engendra a su vez lo futuro.”

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“Es indigno que hombres notables pierdan su tiempo como esclavos del cálculo cuando podrían dejar ese trabajo en manos de cualquiera si se usaran las máquinas.”

“Todo cuanto pasa en el alma del hombre se manifiesta en su cuerpo.”

“Dios es absolutamente perfecto, porque la perfección es la cantidad de la realidad positiva, en el sentido estricto, dejando fuera las limitantes o delimitaciones en las cosas que son limitadas. Y donde no hay limitaciones, es decir, en Dios, la perfección es absolutamente infinita.”

“Siempre he creído que si se reformase la educación de la juventud, se conseguiría reformar el linaje humano.”

“Nada hay más importante que ver los caminos de la inventiva, que son, en mi opinión, más importantes que las invenciones mismas.” (Ver artículo: Aquiles Nazoa)

“Todo cuerpo se resiente de lo que sucede en el Universo.”

“El mecanismo es la forma exterior de las cosas. El dinamismo es su fondo.”

“Lo que llamamos casualidad no es más que ignorancia de las leyes físicas.”

“La música es un ejercicio aritmético ocultado del alma, que no sabe que está contando.”

El racionalismo

De los tres grandes racionalistas, Leibniz propuso la doctrina más completa de las ideas innatas. Para Leibniz, todas las ideas son estrictamente hablando innatas. En un sentido general y relativamente directo, este punto de vista es una consecuencia directa de la concepción de Leibniz de la sustancia individual.

Según Leibniz, «cada sustancia es un mundo aparte, independiente de todo lo que está fuera de él, excepto Dios. Por lo tanto, todos nuestros fenómenos, es decir, todas las cosas que pueden sucedernos, son solo el resultado de nuestro propio ser” o, en la famosa frase de Leibniz de la Monadología, «Las mónadas no tienen ventanas», lo que significa que no hay forma de que los datos sensoriales ingresen mónadas desde el exterior.

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En este sentido más general, entonces, dar una explicación a la doctrina de ideas innatas de Leibniz sería explicar su concepción de la sustancia individual y los argumentos y consideraciones que la motivan. Esto consistiría en eludir los problemas y las preguntas que normalmente están en el centro del debate sobre la existencia de ideas innatas, que se refieren a la medida en que ciertos tipos de percepciones, ideas y proposiciones pueden explicarse sobre la base de experiencia.

Aunque las razones más generales de Leibniz para abrazar ideas innatas se derivan de su única clase de metafísica de sustancia, Leibniz entra en el debate sobre ideas innatas, por así decirlo, abordando las preguntas más específicas sobre la fuente de determinados tipos de ideas, sobre todo en su compromiso dialógico con la filosofía de Locke, Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano.

Leibniz reúne varias consideraciones en apoyo de su punto de vista de que la mente no siempre es consciente de sus ideas. El hecho de que podamos almacenar muchas más ideas en nuestro entendimiento de las que podemos tener en cuenta en un momento dado es una. Leibniz también apunta a la fenomenología de la atención; no atendemos todo en nuestro campo de percepción en un momento dado; más bien nos enfocamos en ciertas cosas a expensas de otros.

Para transmitir un sentido de lo que podría significar que la mente tenga percepciones e ideas en un sueño sin sueños, Leibniz le pide al lector que imagine que restamos nuestra atención de la experiencia perceptiva; dado que podemos distinguir entre lo atendido y lo que no, restar atención no elimina por completo la percepción.

Psicología y aportaciones filosóficas

La psicología había sido un interés central de Leibniz. Él parece ser un «pionero subestimado de la psicología». Escribió sobre temas que ahora se consideran campos de la psicología, atención y conciencia, memoria, aprendizaje, asociación, motivación, el acto de luchar, individualidad emergente, la dinámica general del desarrollo, evolución, entre otros.

Sus discusiones en los Nuevos Ensayos y Monadología a menudo se basan en observaciones cotidianas, como el comportamiento de un perro o el ruido del mar, y desarrolla analogías intuitivas, el funcionamiento sincrónico de los relojes o el muelle de equilibrio de un reloj. (Ver artículo: Gabriel Garcia Marquez)

También ideó postulados y principios que se aplican a la psicología: el continuo de las percepciones pequeñas inadvertidas a la apercepción distinta, autoconsciente, y el paralelismo psicofísico desde el punto de vista de la causalidad y el propósito, las almas actúan de acuerdo con las leyes de la final causas, a través de aspiraciones, fines y medios.

Los cuerpos actúan de acuerdo con las leyes de las causas eficientes, es decir, las leyes del movimiento. Y estos dos reinos, el de las causas eficientes y el de las causas finales, se armonizan entre sí. Esta idea se refiere al problema mente-cuerpo, estableciendo que la mente y el cerebro no actúan el uno sobre el otro, sino que actúan uno junto al otro por separado pero en armonía.

Leibniz, sin embargo, no usó el término psicología. La posición epistemológica de Leibniz contra John Locke y el empirismo inglés o sensualismo, quedó en claro. Nada está en el intelecto que no fue el primero en los sentidos, excepto el intelecto mismo.

Los principios que no están presentes en las impresiones sensoriales pueden reconocerse en la percepción y la conciencia humana, inferencias lógicas, categorías de pensamiento, el principio de causalidad y el principio de propósito, mejor conocido como teleología.

Aportaciones

Leibniz hizo importantes contribuciones a la física y la tecnología, y se anticipó a nociones que surgieron mucho más tarde en la filosofía, la teoría de la probabilidad, la biología, la medicina, la geología, la psicología, la lingüística y la informática. Cifró obras sobre filosofía, política, derecho, ética, teología, historia y filología.

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Leibniz también favoreció al campo de la ciencia bibliotecaria. Mientras se eximía como supervisor de la biblioteca Wolfenbüttel en Alemania, conjeturó un sistema de catalogación que valdría de guía para muchas de las bibliotecas más grandes de Europa.

Las contribuciones de Leibniz a esta amplia gama de temas se dispersaron en varias revistas científicas, en decenas de miles de cartas y en manuscritos no publicados. Escribió en varios idiomas, pero principalmente en latín, francés y alemán. No hay una reunión completa de los escritos de Leibniz traducidos al inglés.

Aportaciones al calculo

A Leibniz se le atribuye, junto con Sir Isaac Newton, el descubrimiento del cálculo. Según los cuadernos de Leibniz, se produjo un avance decisivo el 11 de noviembre de 1675, cuando utilizó el cálculo integral por primera vez para encontrar el área bajo el gráfico de una función y = f  (x).

Introdujo varias anotaciones utilizadas hasta el día de hoy, por ejemplo, el signo integral ∫, que representa una S alargada, de la palabra latina summa, y la d utilizada para diferenciales, de la palabra latina differentia. Esta notación ingeniosamente sugestiva para el cálculo es posiblemente su legado matemático más perenne.

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Leibniz no publicó nada sobre su cálculo hasta 1684. Leibniz expresó la relación inversa de integración y diferenciación, más tarde llamada el teorema fundamental del cálculo, por medio de una figura en su documento de 1693 Supplementum geometriae dimensoriae. Sin embargo, a James Gregory se le atribuye el descubrimiento del teorema en forma geométrica, Isaac Barrow demostró ser una versión geométrica más generalizada, y Newton teoría de apoyo desarrollada.

El concepto se volvió más claro según se desarrolló a través del formalismo de Leibniz y la nueva notación. La regla del producto de cálculo diferencial aún se llama «ley de Leibniz». Además, el teorema que dice cómo y cuándo diferenciar bajo el signo integral se denomina regla integral de Leibniz.

Leibniz explotó infinitesimales en el desarrollo del cálculo, manejandolos de manera que sugerían que tenían propiedades algebraicas paradójicas. George Berkeley, en un tratado llamado The Analyst y también en De Motu, criticó estos. Un estudio reciente sostiene que el cálculo leibniziano no tenía contradicciones y estaba mejor fundamentado que las críticas empiristas de Berkeley.

Aportes a la informática

Leibniz puede haber sido el primer informático y teórico de la información. Temprano en la vida, documentó el sistema de numeración binario, luego revisó ese sistema a lo largo de su carrera. Mientras Leibniz estaba examinando otras culturas para comparar sus puntos de vista metafísicos, se encontró con un antiguo libro chino I Ching.

Leibniz interpretó un diagrama que mostraba yin y yang y lo correspondía con un cero y uno. Se puede encontrar más información en la sección Sinófilo. Leibniz puede haber plagiado a Juan Caramuel y Lobkowitz y Thomas Harriot, que desarrolló independientemente el sistema binario, ya que estaba familiarizado con sus trabajos en el sistema binario.

Juan Caramuel y Lobkowitz trabajó extensamente en logaritmos incluyendo logaritmos con base 2. Los manuscritos de Thomas Harriot contenían una tabla de números binarios y su notación, que se dio cuenta de que cualquier número podía escribirse en un sistema base 2. Sin embargo, Leibniz simplificó el sistema binario y articuló propiedades lógicas como la conjunción, la disyunción, la negación, la identidad, la inclusión y el conjunto vacío.

Anticipó la interpolación lagrangiana y la teoría de la información algorítmica. Su ratiocinator de cálculo aspectos anticipados de la máquina universal de Turing. En 1961, Norbert Wiener sugirió que Leibniz debería ser considerado el santo patrón de la cibernética.

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Inventos

Leibniz se bautizó en uno de los inventores más fructuosos en el campo de las calculadoras mecánicas. Mientras se ocupaba en añadir la multiplicación y división mecánica a la calculadora de Pascal, fue el primero en representar una calculadora de molinete en 1685, e ideó la Rueda Leibniz, manejada en el aritmómetro, la primera calculadora mecánica traída en serie. También afinó el sistema de números binarios, que es la base de usualmente de todas las computadoras digitales. (Ver artículo: Julio Verne)

En 1906, Garland publicó un volumen de escritos de Leibniz sobre sus muchos inventos prácticos y trabajos de ingeniería. Hasta la fecha, algunas de estas escrituras han sido traducidas al inglés. Sin embargo, se entiende bien que Leibniz era un inventor serio, ingeniero y científico aplicado, con gran respeto por la vida práctica.

Siguiendo el lema theoria cum praxi, instó a que la teoría se combinara con la aplicación práctica, y así se ha afirmado que es el padre de la ciencia aplicada. Diseñó hélices impulsadas por el viento y bombas de agua, máquinas de extracción de mineral, prensas hidráulicas, lámparas, submarinos, relojes, etc. Con Denis Papin, inventó una máquina de vapor. Incluso propuso un método para desalinizar el agua.

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Obras

Leibniz escribió esencialmente en tres hablas, latín escolástico, francés y alemán. En su vida, divulgó muchos folletos y artículos ilustrados, pero solo un dúo de obras «filosóficas», el Arte Combinatorio y el Théodicée.

Publicó numerosos panfletos, a menudo anónimos, en nombre de la Cámara de Brunswick-Lüneburg, más notablemente el «Suprematum de jure» una consideración importante de la naturaleza de la soberanía. Un libro sustancial apareció luego de su muerte, su Nouveaux essais sur l’entendement humain, que Leibniz había retenido de la publicación después de la muerte de John Locke.

Recién en 1895, cuando Bodemann completó su catálogo de manuscritos y correspondencia de Leibniz, se hizo evidente la enorme extensión del Nachlass de Leibniz, aproximadamente 15,000 cartas a más de 1000 destinatarios más más de 40,000 otros artículos. Además, algunas de estas cartas son de larga duración. Gran parte de su vasta epístola, especialmente las cartas fechadas después de 1700, permanece sin publicar, y gran parte de lo que se ha publicado ha sido tan solo en las últimas décadas.

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Monadología

La Monadología es una de las obras más conocidas de Gottfried Leibniz que representa su filosofía posterior. Es un texto breve que dibuja en unos 90 párrafos una metafísica de sustancias simples o mónadas. Durante su última estancia en Viena desde 1712 hasta septiembre de 1714, Leibniz escribió dos breves textos en francés que se concibieron como exposiciones concisas de su filosofía.

Después de su muerte, Principes de la nature et de la grâce fondé en raison, que estaba destinado al príncipe Eugenio de Saboya, apareció en francés en los Países Bajos. Christian Wolff y sus colaboradores publicaron traducciones en alemán y en latín del segundo texto que se conoció como The Monadology. Sin haber visto la publicación holandesa de los Principes, habían supuesto que era el original francés de la Monadología, que de hecho permaneció inédito hasta 1840.

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La traducción alemana apareció en 1720 como Lehrsätze über die Monadologie y al año siguiente el Acta Eruditorum imprimió la versión latina como Principia philosophiae. Hay tres manuscritos originales del texto, el primero escrito por Leibniz y sobrecargado con correcciones y dos copias adicionales enmendadas con algunas correcciones que aparecen en una pero no en la otra.

El mismo Leibniz insertó referencias a los párrafos de su Théodicée, es decir, una justificación de Dios), enviando al lector interesado allí para más detalles. La mónada, la palabra y la idea, pertenece a la tradición filosófica occidental y ha sido utilizada por varios autores. Leibniz, que fue excepcionalmente leído, no pudo haber ignorado esto, pero no lo utilizó hasta mediados de 1696 cuando envió para imprimir su Nuevo Sistema.

Aparentemente encontró una forma conveniente de exponer su propia filosofía tal como fue elaborada en este período. Lo que propuso puede verse como una modificación del ocasionalismo desarrollado por los cartesianos de los últimos días.

Leibniz conjeturó que hay infinitamente muchas sustancias individualmente “programadas” para actuar de una manera predeterminada, cada sustancia siendo coordinada con todas las demás. Este es la armonía preestablecida que resolvió el problema mente-cuerpo, pero a costa de declarar cualquier interacción entre las sustancias como una mera apariencia.

Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano

“Nuevos Ensayos sobre el entendimiento humano”, es una impugnación página por página de Gottfried Leibniz del trascendental trabajo de John Locke, “An Essay Concerning Human Understanding”. Es uno de las dos notables labores de Leibniz. Fue consumado en 1704, pero la muerte de Locke fue la causa invocada por Leibniz para suspender su publicación.

El libro apareció unos sesenta años después. Al igual que muchas obras filosóficas de la época, está escrito en forma de diálogo. Los dos oradores del libro son Teófilo, quien representa los puntos de vista de Leibniz, y Philalethes, quien representa a los de Locke. La famosa refutación de la tesis empirista sobre la procedencia de las ideas aparece al comienzo del Libro II: «Nada está en la mente sin ser el primero en los sentidos, excepto la mente misma».

Todos los principales argumentos de Locke contra las ideas innatas son criticados extensamente por Leibniz, quien defiende una visión extrema de la cognición innata, según la cual todos los pensamientos y acciones del alma son innatas.

Además de su discusión de ideas innatas, Leibniz ofrece críticas penetrantes de los puntos de vista de Locke sobre la identidad personal, el libre albedrío, el dualismo mente-cuerpo, el lenguaje, la verdad necesaria y la prueba de Locke de la existencia de Dios.

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Series de Leibniz

En matemáticas, la fórmula o serie de Leibniz para π, llamada así por Gottfried Leibniz, la cual dice que:

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También se llama serie Madhava-Leibniz , ya que es un caso especial de una expansión de serie más general para la función tangente inversa , descubierta por primera vez por el matemático indio Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, el caso específico publicado por primera vez por Leibniz alrededor de 1676. La serie para la función de tangente inversa, que también se conoce como serie de Gregory, puede ser dada por:

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La fórmula de Leibniz para π/4 se puede obtener conectando x = 1 a la serie de tangente inversa de arriba. También es la serie L de Dirichlet, del carácter Dirichlet, no principal del módulo 4 evaluado en s = 1, y por lo tanto el valor β (1) de la función beta de Dirichlet.

La fórmula de Leibniz converge extremadamente despacio: exhibe una convergencia sublineal. Cálculo de π a 10 correctas posiciones decimales usando suma directa de la serie requiere alrededor de cinco mil millones de términos.

Sin embargo, la fórmula de Leibniz se puede usar para calcular π a alta precisión, con cientos de dígitos o más, usando varias técnicas de aceleración de convergencia. Por ejemplo, la transformación Shanks, Euler transformard o transformación Van Wijngaarden, que son métodos generales para la serie alterna, se puede aplicar eficazmente a las sumas parciales de la serie Leibniz.

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Además, la combinación de términos por pares da las series no alternas que puede evaluarse con alta precisión a partir de un pequeño número de términos utilizando la extrapolación de Richardson o la fórmula de Euler-Maclaurin. Esta serie también se puede transformar en una integral mediante la fórmula de Abel-Plana y se puede evaluar utilizando técnicas de integración numérica.

Máquina

A este polimata se le atribuye la invención de una maquina llamada el contador de pasos, o calculador escalonado, que era una calculadora mecánica digital inventada alrededor de 1672 y completada en 1694. El nombre procede de la traducción del término alemán para su módulo operativo, Staffelwalze, que representa “tambor escalonado”. Fue la originaria calculadora que pudo realizar los cuatro procedimientos aritméticos.

No obstante, su engranaje de precisión enmarañado estaba más allá de la tecnología de fabricación de la época; las dificultades mecánicas, además de una falla de diseño en el mecanismo de transporte, frenaron que las máquinas funcionen de manera confiada.

Dos prototipos fueron montados; hoy solo sobrevive uno en la Biblioteca Nacional de Baja Sajonia (Niedersächsische Landesbibliothek) en Hanover, Alemania. Varias réplicas postreras están en exhibición, como el que en el Deutsches Museum, de Múnich. A pesar de los desperfectos mecánicos del contador escalonado, sugirió contingencias para futuros constructores de calculadoras. El mecanismo ejecutivo, inventado por Leibniz, llamado cilindro escalonado o rueda de Leibniz, se manipuló en muchas máquinas de cálculo durante 200 años, y en la década de 1970 con la calculadora de mano Curta.

El contador progresivo se basó en un dispositivo de engranaje que inventó Leibniz y que ahora se llama rueda Leibniz. No está claro cuántas variedades diferentes de la calculadora se hicieron. Algunas fuentes, muestran una versión de 12 dígitos. Pero usualmente se utilizaba el prototipo de 16 dígitos que queda en Hannover.

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La máquina cuenta con unos 67 cm de largo y está forjada de latón pulido y acero, ajustada en una caja de roble. Radica en dos partes paralelas adjuntas, una unidad de acumulador en la parte postrera, que puede aguantar 16 dígitos decimales, y un elemento de entrada de 8 dígitos en la parte anversa.

La unidad de entrada tiene 8 diales con perillas para implantar el número de operando, un dial similar a un teléfono a la derecha para conformar el dígito del multiplicador y una manivela en la parte delantera para efectuar el cálculo. El resultado aparece en las 16 ventanas en la sección del acumulador postrero.

La sección de entrada está montada sobre rieles y se puede mover a lo largo de la sección del acumulador con una manivela en el extremo izquierdo que gira un tornillo sin fin, para cambiar la alineación de los dígitos del operando con los dígitos del acumulador. También hay un indicador de carga de decenas y un control para configurar la máquina a cero. La máquina puede:

  • Sumar o restar un número de 8 dígitos a, desde un número de 16 dígitos
  • Multiplica dos números de 8 dígitos para obtener un resultado de 16 dígitos
  • Divide un número de 16 dígitos por un divisor de 8 dígitos

La suma o la resta se efectúan en un solo paso, con un giro de la manija. La multiplicación y la división se realizan dígito por dígito en los dígitos del multiplicador o del divisor, en un procedimiento equivalente a la familiar multiplicación larga y los procedimientos de división larga que se enseñan en la escuela. Secuencias de estas operaciones se pueden realizar en el número en el acumulador; por ejemplo, puede calcular las raíces mediante una serie de divisiones y adiciones.

Sistema binario

El moderno sistema de números binarios fue completamente versado por Gottfried Leibniz en el siglo XVII en su artículo Explication de l’Arithmétique Binaire. El sistema de Leibniz usaba 0 y 1, como el sistema numérico binario moderno.

Como Sinófilo, Leibniz conocía el I Ching y observó con fascinación cómo sus hexagramas corresponden a los números binarios del 0 al 1, y concluyó que este mapeo era evidencia de los principales logros chinos en el tipo de matemáticas filosóficas que admiraba.

Leibniz ensayó la numeración binaria en 1679; su obra aparece en su artículo Explication de l’Arithmétique Binaire, publicado en 1703. El título completo del artículo de Leibniz se traduce al inglés como «Explicación de la aritmética binaria», que utiliza solo los caracteres 1 y 0, con algunas reflexiones sobre su utilidad, y en la luz arroja sobre las antiguas figuras chinas de Fu Xi, de 1703. El sistema de Leibniz usa 0 y 1, como el sistema numérico binario moderno. Un ejemplo del sistema numérico binario de Leibniz es el siguiente:

  • 0 0 0 1 valor numérico 2 0
  • 0 0 1 0 valor numérico 2 1
  • 0 1 0 0 valor numérico 2 2
  • 1 0 0 0 valor numérico 2 3

Leibniz interpretó los hexagramas del I Ching como evidencia de cálculo binario. Como sinófilo, Leibniz conocía el I Ching, notó con fascinación cómo sus hexagramas corresponden a los números binarios del 0 al 111, y concluyó que este mapeo era evidencia de grandes logros chinos en el tipo de matemáticas filosóficas que admiraba.

Leibniz fue mostrado por primera vez al I Ching a través de su relación con el iñiguista francés Joachim Bouvet, quien visitó China en 1685 como predicador. Leibniz advirtió los hexagramas de I Ching como una aseveración de la universalidad de sus ajustadas creencias religiosas como cristiano. Los números binarios fueron medios para la teología de Leibniz. Opinaba que los números binarios encarnaban la idea cristiana de creatio ex nihilo o creación de la nada.

Un concepto que no es fácil de compartir a los paganos, es la creación ex nihilo a través del poder todopoderoso de Dios. Ahora se puede decir que nada en el mundo puede presentar y demostrar mejor este poder que el origen de los números, como se presenta aquí a través de la presentación simple y sin adornos de Uno y Cero o Nada. La Carta de Leibniz al duque de Brunswick se adjunta con los hexagramas de Ching I.

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Contribución a la lógica

Las ideas revolucionarias de Gottfried Wilhelm Leibniz entre 1646 y 1716 sobre lógica fueron desarrolladas por él entre 1670 y 1690. Las ideas se pueden dividir en cuatro áreas: el silogismo, el cálculo universal, la  lógica proposicional y la lógica modal.

A lo largo de su vida, comenzando en 1646 en Leipzig y terminando en 1716 en Hannover, Gottfried Wilhelm Leibniz no publicó un solo artículo sobre lógica, excepto tal vez para la disertación matemática «De Arte Combinatoria» y la disputa jurídica «De Conditionibus». El trabajo anterior trata algunos temas en la teoría del silogismo, mientras que el último contiene investigaciones de lo que hoy se llama lógica deóntica.

El objetivo principal de Leibniz en la lógica, sin embargo, fue extender la silogística tradicional a un «Cálculo universal». Aunque existen varios borradores de dicho cálculo que parecen haber sido compuestos para su publicación, ninguno de ellos finalmente fue enviado a imprenta. Así que los ensayos lógicos de Leibniz aparecieron solo póstumamente.

Las primeras ediciones de sus trabajos filosóficos, sin embargo, contenían solo una pequeña selección de artículos lógicos. No fue antes del comienzo de los 20º siglo que la mayoría de sus fragmentos lógicos se convirtió en general, por la valiosa edición de Louis Couturat.

Como Leibniz solo databa pocos manuscritos, su obra lógica no se describirá aquí en orden cronológico, sino desde un punto de vista meramente sistemático, distinguiendo cuatro grupos:

  • Trabajos sobre la teoría del silogismo
  • Trabaja en el Cálculo Universal
  • Funciona en lógica proposicional
  • Funciona en lógica modal.

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Idealismo

El idealismo de Gottfried Wilhem Leibniz, surgio en gran medida en respuesta a las preguntas formuladas por Descartes sobre la relación entre las sustancias mentales y las sustancias físicas. Según Leibniz, las sustancias reales no interactúan y no pueden interactuar, porque ser una sustancia es independiente de las influencias de otras sustancias, pero ninguna sustancia finita es completamente independiente de Dios, que es la base y la causa de todas las sustancias finitas, incluido Nosotros mismos.

Además, Leibniz argumentó que toda sustancia genuina debe ser completamente no compuesta o simple, es decir, que no está hecha de partes, porque la unidad y existencia continuas de cualquier ser hecho de partes depende de causas fuera del ser mismo y tal dependencia contradice la misma definición de sustancia.

En consecuencia, Leibniz sostuvo que ninguna sustancia genuina puede ser material, porque la materia es esencialmente compuesta, lo que significa que la materia no puede ser sustancial o independientemente real. Leibniz concluyó así que las sustancias deben ser perceptoras, o tener percepciones, porque la única forma en que una sustancia puede ser completamente simple y, sin embargo, reflejar la diversidad en sí misma, es a través de la actividad indivisa de la percepción.

El idealismo de Leibniz se puede resumir en la proposición de que «ser es ser una sustancia, y ser una sustancia es ser perceptor». Para Leibniz, el mundo real es simplemente la totalidad de todas esas sustancias no interactivas o «sin ventanas» y perceptoras llamadas «mónadas», y nuestra experiencia del mundo material debe ser explicada idealistamente, ser una sustancia es ser perceptor. (Ver artículo: Stephen King)

La computadora

En 1671, Leibniz comenzó a inventar una máquina que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas, mejorando gradualmente durante varios años. Este «contador escalonado » atrajo una atención justa y fue la base de su elección a la Royal Society en 1673. Varias de estas máquinas fueron fabricadas durante sus años en Hanover por un artesano que trabajaba bajo su supervisión.

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No fueron un éxito inequívoco porque no mecanizaron completamente la operación de acarreo. Couturat informó haber encontrado una nota inédita de Leibniz, fechada en 1674, que describía una máquina capaz de realizar algunas operaciones algebraicas.  Leibniz también ideó una máquina de cifrado, ahora reproducida, recuperada por Nicholas Rescheren 2010.

En 1693, Leibniz describió un diseño de una máquina que podría, en teoría, integrar ecuaciones diferenciales, que llamó «integraph». Leibniz estaba buscando conceptos de hardware y software elaborados mucho más tarde por Charles Babbage y Ada Lovelace.

En 1679, mientras meditaba sobre su aritmética binaria, Leibniz imaginó una máquina en la que los números binarios estaban representados por mármoles, gobernados por un tipo rudimentario de tarjetas perforadas. Las computadoras electrónicas electrónicas modernas reemplazan a las canicas de Leibniz moviéndose por la gravedad con registros de desplazamiento, gradientes de voltaje y pulsos de electrones, pero de lo contrario corren más o menos como previó Leibniz en 1679.

La energía

A este personaje también le intereso la energía, de hecho, se le conoce literariamente como “Vis viva de Leibniz” que en latín significa «fuerza viviente» es (m*v2), el doble de la energía cinética moderna. Se dio cuenta de que la energía total se conservaría en ciertos sistemas mecánicos, por lo que lo consideró un motivo innato característico de la materia.

Aquí también su pensamiento dio lugar a otra disputa nacionalista lamentable. Se vio que su vis viva rivalizaba con la conservación del impulso defendida por Newton en Inglaterra y por Descartes en Francia; por lo tanto, los académicos en esos países tendían a descuidar la idea de Leibniz. En realidad, tanto energía como impulso se conservan, por lo que los dos enfoques son igualmente válidos.

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